中心极限定理

Central Limit Theorem CLT

当一个量受许多随机因素的共同影响而随机取值时，它的分布近似服从正态分布

概率的计算就可以简化为标准正态分布的简单计算

graph LR
中心极限定理 ---> 林德伯格-勒维定理 & De_Moivre-Laplace定理 & 李雅普诺夫定理

随机变量的标准化
和式的标准化形式

\begin{array}{r} Z_{n} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} X_{k} - \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k})}{\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} D (X_{k})}} \end{array}

当 $n$ 充分大时：

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} P {Z_{n} \leq x} = lim_{n \to \infty} F (x) = Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t \end{array}

本质

将随机变量序列的总体看成一个随机变量，
再进行随机变量的标准化，
转化为标准正态分布的计算

特征函数

Lindeberg-Lévy Theorem

林德伯格-勒维定理

$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, \dots$ 为独立同分布的随机变量序列
$E (X_{i}) = μ$ $D (X_{i} = σ^{2})$

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} P {\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n μ}{σ \sqrt{n}} \leq x} = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t \end{array}

De_Moivre-Laplace Theorem

为 Lindeberg-Lévy Theorem 的一个特列

$Y_{n} \sim B (n, p)$ 服从二项分布

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} P {\frac{Y_{n} - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}} \leq x} = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t \end{array}

当 $n$ 充分大时，二项分布可以近似为正态分布

例题

问题
一大批产品中，一级品率为 $10 %$ , 现从中任取 500 件
分别用切比雪夫不等式和中心极限定理计算这 500 件产品中一级品的比例与 $10 %$ 之差的绝对值小于 $2 %$ 的概率
解答
设每次抽取为一次试验
从一大批产品中抽取，可近似为 n 重伯努利试验
设抽取出来的一级品的件数为 $X$
服从二项分布 $X \sim B (500, 0.1)$
$E (X) = n p = 50$ $D (X) = n p (1 - p) = 45$
问题即求概率：

\begin{array}{r} P {| \frac{X}{500} - 10 % | < 2 %} \end{array}

切比雪夫不等式得：

\begin{aligned} P {| \frac{X}{500} - 10 % | < 2 %} \\ = P {| X - 50 | < 10} \geq 1 - \frac{45}{10^{2}} = 0.55 \end{aligned}

中心极限定理得：

\begin{aligned} P {| \frac{X}{500} - 10 % | < 2 %} \\ = P {| X - 50 | < 10} \\ = P {- \frac{10}{\sqrt{45}} \leq \frac{X - 50}{\sqrt{45}} \leq \frac{10}{\sqrt{45}}} \\ = Φ (\frac{2 \sqrt{5}}{3}) - Φ (- \frac{2 \sqrt{5}}{3}) \\ = 2 Φ (\frac{2 \sqrt{5}}{3}) - 1 \approx 0.8638 \end{aligned}

问题
一盒同型号螺钉共有 100 个，该螺钉的质量为一个随机变量，
期望值是 100g，标准差 10g
求该盒螺钉质量超过 10.2kg 的概率
解答
该螺钉的质量为独立同分布的随机变量序列
一盒螺钉的总质量为 $X = \sum_{i = 1}^{100} X_{i}$
$E (X_{i}) = 100, D (X_{i}) = 10^{2}$
问题即求概率： $P {X > 10200}$

\begin{aligned} P {X > 10200} \\ = P {\frac{\sum_{i = 1}^{100} X_{i} - n μ}{σ \sqrt{n}} > \frac{10200 - n μ}{σ \sqrt{n}}} \\ = P {\frac{X - 10000}{100} > \frac{10200 - 10000}{100}} \\ = P {\frac{X - 10000}{100} > 2} \\ = 1 - P {\frac{X - 10000}{100} \leq 2} \\ = 1 - Φ (2) = 0.02275 \end{aligned}