指数分布

Exponential Distribution
$X \sim E x p (λ) λ > 0$

f (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ x} = \frac{1}{θ} e^{- \frac{x}{θ}} x \geq 0 \\ 0 x < 0 \end{cases}

F (x) = {\begin{cases} 1 - e^{- λ x} x \geq 0 \\ 0 x < 0 \end{cases}

期望： $E (X) = \frac{1}{λ} = θ$
方差： $D (X) = \frac{1}{λ^{2}} = θ^{2}$

\begin{aligned} E (X) & = \int_{0}^{+ \infty} λ x e^{- λ x} d x \\ = - \int_{0}^{+ \infty} x d e^{- λ x} \\ = - (x e^{- λ x}) |_{0}^{+ \infty} + \int_{0}^{+ \infty} e^{- λ x} d x \\ = 0 - \frac{1}{λ} e^{- λ x} |_{0}^{+ \infty} \\ = \frac{1}{λ} \end{aligned}

常用于各种寿命的分布的近似
排队论可靠性分析

指数分布与几何分布一样具有无记忆性

\begin{array}{r} P {X > s + t ∣ X > s} = P {X > t} \end{array}

参数 $λ$ 与泊松分布的 $λ$ 可视为同一参数
表示失效率或死亡率，用于近似各种寿命问题