期望

Expectation $E (X)$ 均值 mean
随机变量可能取值的平均值

离散型随机变量:
概率分布律 : $P {X = x_{i}} = p_{i}$ 级数绝对收敛

\begin{array}{r} E (X) = \sum_{i = 1}^{\infty} x_{i} p_{i} \end{array}

连续型随机变量:
概率密度函数: $f (x)$ 积分绝对收敛

\begin{array}{r} E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x \end{array}

期望是一个实数，是一种加权平均
级数的绝对收敛和积分的绝对收敛，才能保证期望存在

随机变量函数的期望

1. 一维随机变量

$X$ 为一随机变量， $Y = g (X)$

方差、协方差、相关系数在本质上都是函数的期望

离散型随机变量

概率分布律 $P {X = x_{i}} = p_{i} i = 1, 2, 3, \dots$

\begin{array}{r} E (Y) = E [g (X)] = \sum_{i = 1}^{\infty} g (x_{i}) p_{i} \end{array}

连续型随机变量

概率密度为 $f (x)$

\begin{array}{r} E (Y) = E [g (X)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f (x) d x \end{array}

2. 二维随机变量

$(X, Y)$ 为二维随机向量， $Z = g (X, Y)$

离散型随机变量

概联合分布律 $P {X = x_{i}, Y = y_{j}} = p_{i j} i = 1, 2, 3, \dots$

\begin{array}{r} E (Z) = E (g (X, Y)) = \sum_{j = 1}^{\infty} \sum_{i = 1}^{\infty} g (x_{i}, y_{j}) p_{i j} \end{array}

连续型随机变量

概率密度为 $f (x, y)$

\begin{array}{r} E (Z) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} g (x, y) f (x, y) d x d y \end{array}

注意！

因为期望是一个数，积分的结果也应该是一个具体的数
所以最外层的积分限一定都为常数

单变量的积分限就为题目所给定的积分限，较好理解
而多变量的积分限要先根据题目变量的取值范围，
转化为单变量的积分，再在积分区域内积分

而且也要注意求期望时，是对函数值与密度函数的乘积进行积分

例子：
$0 \leq x \leq y \leq 1$
求 $E (X)$ ， $E (Y)$ , $E (X Y)$
$E (X) = \int_{0}^{1} x f_{X} (x) d x$
$E (Y) = \int_{0}^{1} y f_{Y} (y) d y$
$E (X Y) = \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} x y f (x, y) d y$ 或
$E (X Y) = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} x y f (x, y) d x$

期望的性质

$C$ 为常数， $E (C) = C$
$k$ 为常数， $E (k X) = k E (X)$
线性性质

\begin{array}{r} E (a X + b Y) = a E (X) + b E (Y) \end{array}

若 $X, Y$ 独立

\begin{array}{r} E (X Y) = E (X) E (Y) \end{array}

但是由期望的关系不能够推出两个变量相互独立