条件概率

Conditional Probability

条件概率

事件 B 发生情况下事件 A 发生的概率

P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)}

对单独的两个事件而言，各自发生的概率是确定的，而且不受另一个事件是否发生的影响

但是，如果已知一个事件发生，则需要对另一个事件发生的概率重新考虑（一个事件发生，会改变基本空间 (样本空间) 的大小，进而改变另一个事件的概率）

乘法公式

$P (A B) = P (B) P (A ∣ B) = P (A) P (B ∣ A)$
$P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1})$

例题
100 个零件，10 件次品，不放回抽样依次抽取 3 次
求第三次才抽到合格品的概率
解答
设 $A_{i}$ 为第 $i$ 次抽到合格品的事件
也即求 $P (\overset{―}{A_{1}} \overset{―}{A_{2}} A_{3})$ 的概率

\begin{aligned} P (\overset{―}{A_{1}} \overset{―}{A_{2}} A_{3}) & = P (\overset{―}{A_{1}}) P (\overset{―}{A_{2}} ∣ \overset{―}{A_{1}}) P (A_{3} ∣ \overset{―}{A_{1}} \overset{―}{A_{2}}) \\ = \frac{10}{100} \cdot \frac{9}{99} \cdot \frac{90}{98} \end{aligned}

或者将抽取 3 次看为一个事件古典概型
$P = \frac{A_{10}^{2} \cdot 90}{A_{100}^{3}} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 90}{100 \cdot 99 \cdot 98}$

全概率公式

Law of Total Probability

已知原因找结果

$B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ 为 $Ω$ 的一个分割/完备事件组/划分，满足：

$B_{i} B_{j} = \emptyset, i \neq j i, j = 1, 2 \dots n$
$⋃_{i = 1}^{n} B_{i} = Ω$

已知每个划分及每个划分中 A 发生的概率，求 A 发生的概率

\begin{aligned} P (A) & = P (⋃_{i = 1}^{n} A B_{i}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} P (A B_{i}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i}) \end{aligned}

$A$ 可理解为事件发生的结果
$B_{i}$ 可理解为导致 $A$ 发生的原因

最简单的形式：
$P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\overset{―}{B}) P (A ∣ \overset{―}{B})$

贝叶斯公式

Bayes' Theorem，贝叶斯公式

已知结果找原因

$B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ 为 $Ω$ 的一个分割/完备事件组/划分
已知事件 A 发生，求其中一个划分的概率

\begin{array}{r} P (B_{i} ∣ A) = \frac{P (A B_{i})}{P (A)} = \frac{P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})} \end{array}

例题

问题
油田钻井队打出油的概率为 0.07，
出油的井恰位于有储油地质结构位置的概率为 0.85
不出油的井位于有储油地质结构位置的概率为 0.35

则在有储油地质结构位置上打井的概率为？
在有储油地质结构位置上打的井出油的概率为？

解答
打井（原因） $\to$ 出油 (结果)
设打的井出油为事件 A (结果)
在有储油地质结构位置上打井为事件 B （原因）

打出油的概率
$P (A) = 0.07$ $P (\overset{―}{A}) = 0.93$
出油的井恰位于有储油地质结构位置 (已知结果，推原因)
$P (B ∣ A) = 0.85$
$P (B ∣ \overset{―}{A}) = 0.35$

$P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ \overset{―}{A}) P (\overset{―}{A})$
$P (B) = 0.85 \times 0.07 + 0.35 \times 0.93$

$P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)} = \frac{P (B ∣ A) P (A)}{P (B)}$

注意

灵活处理！
也不要过于纠结原因和结果
只要明确事件，转化题目的意义即可
灵活地应用公式解决