概率

Probability

概率 $P$

$f_{n} (A) = \frac{n_{A}}{n}$

$n_{A}$ 在 n 次试验中出现的次数
事件 A 在 n 次试验的频率

当随机试验的次数充分大时，事件A 发生的频率 $f_{A} (A)$ 稳定在某个数 $p$ 附近摆动
则 $p$ 为事件的概率， $P (A) = p$

统计定义只是描述性的，以实验为基础，但并不取决于试验

Kolmogorov
$Ω$ 为一个样本空间， $F$ 为 $Ω$ 的某些子集组成的一个事件域，
对任一事件 $A \in F$
定义在事件域上的一个实值函数 $P (A)$ 满足以下三条公理：

非负性:
$A \in F, P (A) \geq 0$
正则性:
$P (Ω) = 1$
可列可加性:
若事件两两互不相容
$P (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (A_{i})$

Classical Probability 古典概型
通常适用于离散的样本空间
直接基于样本点的数量和等可能性来计算概率

通常适用于连续的样本空间
基于几何测度（如长度、面积、体积等）来定义事件的概率。
应用：蒙特卡洛方法

人们根据经验对按事件发生可能性所给出的个人信念

对于不可能事件
$P (\emptyset) = 0$
有限可加性
对 n 个互不相容的事件 $A_{1}, A_{2}, \dots A_{n}$
$P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$
对立事件公式
$P (\bar{A}) = 1 - P (A)$

加法公式：

\begin{aligned} P (A \cup B) & = P (A + B) \\ = P (A) + P (B - A B) \\ = P (A) + P (B) - P (A B) \end{aligned}

半可加性：
$P (A \cup B) \leq P (A) + P (B)$

任意 $n$ 个事件的加法公式：

\begin{aligned} P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) & = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) - \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{} P (A_{i} A_{j}) + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n}^{} P (A_{i} A_{j} A_{k}) \\ + \dots + (- 1)^{n - 1} P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) \end{aligned}

每个单独事件的概率之和-任意两个事件概率之积的和+任意三个事件概率之积的和- $\dots$

\begin{aligned} P (A + B + C) & = P (A) + P (B) + P (C) \\ - P (A B) - P (B C) - P (A C) + P (A B C) \end{aligned}