概率密度函数

PDF Probability Density Function

\begin{array}{r} F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t \end{array}

$f (x)$ 为 $X$ 的概率密度函数
在几何上表示一条曲线，称为密度曲线
$F (x)$ 为连续型随机变量 $X$ 的分布函数
几何意义为密度曲线下，从 $- \infty$ 到 $x$ 的面积
随着 $x$ 的改变而改变

性质：

$f (x) \geq 0$
归一性

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1

一般使用此来计算概率密度中的未知参数

计算在某个区间上的概率

P {x_{1} < X \leq x_{2}} = F (x_{2}) - F (x_{1}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) d x

已知分布函数求概率密度
$f (x)$ 在 $x$ 处连续，则 $F^{'} (x) = f (x)$

例题

已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f (x) = \frac{A}{e^{x} + e^{- x}} (- \infty < x < + \infty)$
求概率 $P {0 < X < \frac{1}{2} \ln 3}$

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{A}{e^{2 x} + 1} d e^{x} \\ = A \arctan e^{x} ∣_{- \infty}^{+ \infty} \\ = A \cdot \frac{π}{2} = 1 \\ A & = \frac{2}{π} \\ f (x) & = \frac{2}{π} \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} \\ F (x) & = \frac{2}{π} \arctan e^{x} - 0 \\ P {0 < X < \frac{1}{2} \ln 3} & = F (\frac{1}{2} \ln 3) - F (0) \\ = \frac{2}{π} (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{6} \end{aligned}