泊松分布

Poisson Distribution
$X \sim P (λ)$ $λ > 0$ 为常数

$P {X = k} = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} k = 0, 1, 2, \dots$

期望： $E (X) = λ$
方差： $D (X) = λ$

\begin{aligned} e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \dots + \frac{1}{k!} x^{k} + \dots + \\ ∵ lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{λ^{n}}{n!} = e^{λ} \\ ∴ lim_{k \to \infty} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} = 1 \end{aligned}

一般认为 $n \geq 20 p \leq 0.05$ 时
可以用泊松分布近似二项分布

取 $λ = n p$
n 为二项分布总的试验次数， $p$ 为试验发生的概率

\begin{aligned} P (X = K) & = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ \approx \frac{(n p)^{k}}{k!} e^{- n p} \end{aligned}

$n \to \infty$ 时， $n p_{n} = λ$

\begin{array}{r} lim_{n \to + \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k} (1 - p_{n})^{n - k} = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} \end{array}

当 $n \to \infty$ 时， $p_{k} = p = \frac{λ}{n}$

\begin{aligned} lim_{n \to + \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k} (1 - p_{n})^{n - k} \\ = \frac{n!}{k! (n - k)!} {(\frac{λ}{n})}^{k} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - k} \\ = \frac{λ^{k}}{k!} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{{(1 - \frac{λ}{n})}^{k} n^{k}} \\ = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} \end{aligned}

实际应用中，一般使用泊松分布来近似二项分布

有同类型设备 300 台，各台设备工作情况相互独立，发生故障的概率为 0.01
一个工人维修一台设备
至少要配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能维修的概率小于 0.01

设配备 $N$ 个工人
设同一时刻有 $X$ 台设备发生故障， $X \sim B (300, 0.01)$
题目也即求： $P {X > N} < 0.01$

\begin{aligned} P {X > N} & = 1 - P {X \leq N} \\ = 1 - \sum_{k = 0}^{N} C_{300}^{k} (0.01)^{k} (0.99)^{300 - k} \\ \approx 1 - \sum_{k = 0}^{N} \frac{3^{k}}{k!} e^{- 3} = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \frac{3^{k}}{k!} e^{- 3} < 0.01 \end{aligned}

查表得 $k$ 取 8，至少要 8 个维修工人