常数项级数

基本概念

常数项级数:无穷个实数的和(xn 为级数的通项/一般项)

n=1xn=x1+x2++xn+

部分和数列:常数项级数的前 n 项和(级数的收敛与数列的收敛本质是一回事)

Sn=k=1nxk=x1+x2++xn

级数收敛的充分必要条件:

级数收敛的必要条件:级数收敛,则其通项构成的数列 {xn} 是无穷小量

limnxn=0

千万注意,这只能用来初步判定(如果通项极限不为 0,则一定发散),但是不能用来确定是否能够收敛(例如 limn1n=0,而级数 n=11n 发散),更多的是使用常数项级数审敛法,或者直接与特殊的已知敛散性的级数进行比较判断。

收敛级数的基本性质

线性性质

n=1an=An=1bn=Bn=1(αan±βbn)=αA±βB

在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性。
如果级数收敛,则对此级数的项任意加括号所形成的级数仍然收敛,且和不变。

特殊级数

等比级数:几何级数

n=1qn1=1+q+q2++qn+

收敛性的判断来自于常数项级数收敛的定义,部分和数列极限存在
部分和数列通项:Sn=k=1nqk1=1qn1q

P 级数

n=11np

p=1 时,为调和级数 n=11n 发散