常数项级数审敛法

常数项级数

graph LR
比较判别法--> 1["比较判别法的\n 极限形式"] & 根值审敛法 & 比值审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数：各项都是非负数的常数项级数 $x_{n} \geq 0$
显然，正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 的部分和数列 ${S_{n}}$ 单调增加, 根据数列的极限知道：
正项级数收敛的充分必要条件：部分和数列有上界

0. 比较判别法

比较审敛法：用一个已知发散或收敛的级数与之比较
$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 与 $\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}$ 是两个正项级数， $x_{n} \leq y_{n}, n = 1, 2, 3, \dots 0$

$\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}$ 收敛时， $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 也收敛
$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 发散时， $\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}$ 也发散

1. 比较审敛法的极限形式

如果 $x_{n}$ 和 $y_{n}$ 是同阶无穷小量

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = l (0 < l < + \infty) \end{array}

则 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}$ 同时收敛或发散

2. Cauchy 判别法（根值审敛法）

$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 是正项级数， $ρ = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_{n}}$

当 $ρ < 1$ ，级数收敛
当 $ρ > 1$ , 级数发散
当 $ρ = 1$ , 可能收敛也可能发散

3. D 'Alembert 判别法（比值审敛法）

$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 是正项级数， $ρ = lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1}}{x_{n}}$

当 $ρ < 1$ ，级数收敛
当 $ρ > 1$ , 级数发散
当 $ρ = 1$ , 可能收敛也可能发散
比值审敛法和根植审敛法本质都是(与几何级数相比较的) 比较审敛法

二、交错级数及其审敛法

交错级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} u_{n} u_{n} > 0$
进一步，如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} u_{n}$ 满足： ${u_{n}}$ 单调减少且收敛于 0，则称为 Leibniz 级数

{\begin{cases} u_{n} \geq u_{n + 1} \\ lim_{n \to \infty} u_{n} = 0 \end{cases}

Leibniz 级数 必定收敛

三、任意项级数及其敛散性

Cauchy 收敛原理，级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 收敛的充分必要条件是：对任意给定的 $ε > 0$ , 存在 $N$ ，使得

\begin{array}{r} | x_{n + 1} + x_{x + 2} + \dots + x_{m} | = | \sum_{k = n + 1}^{m} x_{k} | < ε \end{array}

对一切 $m > n > N$ 成立

绝对收敛和条件收敛

$\sum_{n = 1}^{\infty} | x_{n} |$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 绝对收敛
$\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 收敛， $\sum_{n = 1}^{\infty} | x_{n} |$ 发散，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 条件收敛