斐波那契数列

Fibonacci Sequence
斐波那契数列是一个每一项都是前两项和的整数数列，通常定义为

def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

# 生成斐波那契数列的前10项
n = 10
fib_sequence = [fibonacci(i) for i in range(n)]
print(f"Fibonacci sequence up to {n} terms: {fib_sequence}")

斐波那契数列的相邻项的比值逼近 黄金分割率

从特征值的角度理解

斐波那契数列本质是一个差分方程

构建向量 ${\mathbf{u}}_k=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$，根据递推关系有 ${\mathbf{u}}_{k+1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]{\mathbf{u}}_k$

${\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],\cdots ,{\mathbf{u}}_k=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$

计算特征值和特征向量：
$A-\lambda E=\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right]\Rightarrow det(A-\lambda E)={\lambda }^2-\lambda -1$
特征值： ${\lambda }_1={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},{\lambda }_2={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$
特征向量： ${\mathbf{x}}_1=({\lambda }_1,1),{\mathbf{x}}_2=({\lambda }_2,1)$

使用特征向量的线性组合表达第一个元素 ${\mathbf{u}}_0$
${\mathbf{u}}_0={\displaystyle \frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}}({\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2)$
所以 $u_k=A^k{\mathbf{u}}_0={\displaystyle \frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}}({\lambda }_1^k{\mathbf{x}}_1-{\lambda }_2^k{\mathbf{x}}_2)$

$\because \left|{\lambda }_2\right|<1\therefore \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\lambda }_2^k=0,\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{F_{k+1}}{F_k}}={\lambda }_1$

实际应用

斐波那契数列属于数学的数论领域，同时也与计算机科学、生物学、经济学等领域有交叉。
植物生长：许多植物的叶序和分枝模式遵循斐波那契数列，例如向日葵的种子排列。