特征值和特征向量

Eigenvalues and Eigenvectors

\begin{array}{r} A \vec{x} = λ \vec{x} \end{array}

$λ$ 为特征值 $\vec{x}$ 为特征向量
直观上的理解：当矩阵作用于向量时，大多数向量会改变方向，但是有某些向量不会改变方向，而只是在同一方向上伸缩。其中：不改变方向的向量为特征向量，伸缩的倍数为特征值。

特征方程：

\begin{array}{r} (A - λ E) \vec{x} = 0 \end{array}

特征多项式：

\begin{array}{r} f (λ) = det (A - λ E) = | \begin{array}{c} a_{11} - λ & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} - λ & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} - λ \end{array} | = 0 \end{array}

从线性方程组的角度看：
特征方程实质上为齐次线性方程组，有非零解的充分必要条件是系数行列式 $| A - λ E | = 0$ 为 0，可以求得特征值、进而求的特征向量
从向量空间的角度看：
特征向量 $\vec{x}$ 在 $A - λ E$ 的零空间中，如果 $λ = λ_{i}$ 为矩阵 $A$ 的一个特征值, 则 $(A - λ_{i} E) \vec{x} = 0$ 可以求得非零解 ${\vec{x}}_{i}$ ，求得的解向量为 $λ = λ_{i}$ 对应的特征向量

可以通过矩阵本身，快速得到特征值的和与积

λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n} = t r (A)

λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} = | A |

如果矩阵有复数的特征值，则特征值一定共轭。
设特征值为 $λ = a + i b, \overset{―}{λ} = a - i b$

\begin{array}{r} A x = λ x A \overset{―}{x} = \overset{―}{λ} \overset{―}{x} \end{array}

稳定性分析：在控制理论中，系统稳定性的分析依赖于系统矩阵的特征值的实部。
数据降维：主成分分析（PCA）中，特征向量帮助确定数据的主要变化方向。