矩阵对角化

Aug 09, 2024 8:14 AM

Oct 20, 2024 9:34 AM

Diagonalizing a Matrix
利用线性变换，将可对角化的一般矩阵转化为对角矩阵
如果不能对角化，可以化为 Jordan矩阵

有矩阵 $A$ , 计算特征值和特征向量，得到两个特殊矩阵：

特征值构成的对角矩阵 $Λ$
特征向量为列向量的矩阵 $X$

\begin{array}{r} A X = A (\begin{array}{c} x_{1} & \dots & x_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} λ_{1} x_{1} & \dots & λ_{n} x_{n} \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} X Λ = (\begin{array}{c} x_{1} & \dots & x_{n} \end{array}) (\begin{array}{c} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} λ_{1} x_{1} & \dots & λ_{n} x_{n} \end{array}) \end{array}

所以有： $A X = X Λ$

\begin{array}{r} A = X Λ X^{- 1} Λ = X^{- 1} A X \end{array}

矩阵的幂：

\begin{array}{r} A^{k} = (X Λ X^{- 1}) (X Λ X^{- 1}) \dots (X Λ X^{- 1}) = X Λ^{k} X^{- 1} \end{array}

相似矩阵：Similar Matrix
如果 $A = B C B^{- 1}$ ，只要 $B$ 可逆，则称 $A$ 和 $C$ 相似，且 $A$ 和 $C$ 有相同的特征值
假设有 $C x = λ x$ , 则： $A B x = B C B^{- 1} B x = B C x = B λ x = λ (B x)$
所以 $A$ 也有相同的特征值 $λ$

矩阵对角化的条件

几何重数 Geometric Multiplicity ：线性独立的特征向量的数目
代数重数 Algebraic Multiplicity ：特征值 的最大重复数
如果 GM < AM，则 A 不能被对角化

应用实例

研究微分方程和差分方程
求解差分方程：斐波那契数列
求解微分方程：微分方程组