Nyquist图

极坐标图/幅相曲线图/Nyquist图

\begin{aligned} G (j ω) & = | G (j ω) | e^{j ∠ G (j ω)} = P (ω) + j Q (ω) \end{aligned}

$ω : 0 \to \infty$ $G (j ω)$ 在复平面上的轨迹,也即 $P (ω), Q (ω)$ 变化的曲线

一般只画 $0 \to + \infty$ 的部分（ $0 \to - \infty$ 只需要以实轴为对称轴翻折即可）

基本的画法

一般是对开环传递函数绘制

传递函数的尾1形式：

\begin{aligned} G (s) & = \frac{K \prod_{i = 1}^{m} (τ_{i} s + 1)}{s^{v} \prod_{i = 1}^{n - v} (T_{i} s + 1)} \\ G (j ω) & = \frac{K \prod_{i = 1}^{m} (j τ_{i} ω + 1)}{(j ω)^{v} \prod_{i = 1}^{n - v} (j T_{i} ω + 1)} \end{aligned}

同时计算：
将 $G (j ω)$ 化为 $P (ω) + j Q (ω)$ 的形式
$P (ω) Q (ω) | G (j ω) | ∠ G (j ω)$

$A (ω) = | G (j ω) |$
$ϕ (ω) = | G (j ω) |$

相位的范围

相位范围不等号的方向变为一致

分子对应的范围：

[0, \sum_{i = 1}^{m} \arctan τ_{i} ω]

分母对应的范围：

[- 90^{\circ} \times v - \sum_{i = 1}^{n - v} \arctan T_{i} ω, - 90^{\circ} \times v]

可能出现的范围：

[- 90^{\circ} \times v - \sum_{i = 1}^{n - v} \arctan T_{i} ω, - 90^{\circ} \times v + \sum_{i = 1}^{m} \arctan τ_{i} ω]

1. 绘制起点和终点

$ω \to 0^{+}$
$P (0^{+}) Q (0^{+}) | G (0^{+}) | ∠ G (0^{+})$
$ω \to + \infty$
$P (+ \infty) Q (+ \infty) | G (+ \infty) | ∠ G (+ \infty)$

注意渐近线和始末的辐角

2. 与实虚轴的交点

确定实际的相位范围

$Q (ω) = 0$ 计算与实轴交点
$P (ω) = 0$ 计算与虚轴交点

3.注意二阶振荡环节

如果阻尼比为 0
可能会出现极限频率问题，会产生分支，不连续的点
相角的不连续带来幅值的不连续
即关注使得分母为 0 的 $ω$
要讨论左右极限
$P (ω^{-}) Q (ω^{-}) | G (ω^{-}) | ∠ G (ω^{-})$
$P (ω^{+}) Q (ω^{+}) | G (ω^{+}) | ∠ G (ω^{+})$

自然震荡频率的极限问题
通过对幅值 $| G (j ω) |$ 求导，得到幅值和对应的角频率

谐振频率

谐振峰值

经典环节的传递函数

Nyquist 曲线的增补

起始点

从 $G (0^{+})$ 逆时针开始补画 $v \times 90^{\circ}$ ，半径为 $\infty$ 的顺时针圆弧

注意

从逆时针补画的原因只是不存在实际的 $G (0)$
从 $G (0^{+})$ 开始画比较方便
最后的圆弧还是顺时针的

不连续的点 $ω_{n}$

从 $G (j ω_{n}^{-})$ 以半径为无穷大顺时针作 $v \times 180^{\circ}$ 的圆弧至 $G (j ω_{n}^{+})$