传递函数阵的实现问题

多输入多输出系统的能控能观标准型。

Description

状态空间表达式的能控标准型和能观标准型的扩展延伸
传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观的子系统的动力学行为

系统状态空间方程为：

\begin{aligned} \dot{x} (t) & = A x (t) + B u (t) \\ y (t) & = C x (t) + D u (t) \end{aligned}

传递矩阵表达式为：

\begin{array}{r} W (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D \end{array}

传递函数阵 $W (s)$ 可实现的条件：

矩阵的元的分子分母的多项式系数均为实常数
矩阵的元是 $s$ 的有理分式函数：分子多项式的次数低于或等于分母多项式的次数
- 低于分母多项式的次数，实现具有 $(A, B, C)$ 的形式
- 等于分母多项式的次数，实现具有 $(A, B, C, D)$ 的形式， $D = lim_{s \to \infty} W (s)$
  如果不为严格的真有理分式，可以先计算出 $D$ ，再寻求 $(A, B, C)$ 的形式的实现

\begin{array}{r} W (s) - D = C (s I - A)^{- 1} B \end{array}

注意对于多输入多输出系统而言，能控和能观标准型并非是对偶关系（矩阵的维数不同）

\begin{array}{r} W (s) = \bar{c} (s I - \bar{A})^{- 1} \bar{b} = \frac{β_{n - 1} s^{n - 1} + β_{n - 2} s^{n - 2} + \dots + β_{1} s + β_{0}}{s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0}} \end{array}

输入矢量的维度为 $r$ ，输出矢量的维度为 $m$ ，传递函数矩阵正是反映输入到输出的关系，所以为 $m \times r$ 的矩阵（化为能控/能观标准型时，可以考虑选择维度更小的标准型）。

维数： $n r \times n r$ 每一个元都为 $r \times r$ 的矩阵

\begin{aligned} A_{c} & = (\begin{array}{c} 0_{r} & I_{r} & 0_{r} & \dots & 0_{r} \\ 0_{r} & 0_{r} & I_{r} & \dots & 0_{r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0_{r} & 0_{r} & 0_{r} & \dots & I_{r} \\ - a_{0} I_{r} & - a_{1} I_{r} & - a_{2} I_{r} & \dots & - a_{n - 1} I_{r} \end{array}) \\ B_{c} & = (\begin{array}{c} 0_{r} \\ 0_{r} \\ ⋮ \\ I_{r} \end{array}) C_{c} = (\begin{array}{c} β_{0}, β_{1}, \dots, β_{n - 1} \end{array}) \end{aligned}

维数： $n m \times n m$ 每一个元都为 $m \times m$ 的矩阵

\begin{aligned} A_{o} & = (\begin{array}{c} 0_{m} & 0_{m} & \dots & 0_{m} & - a_{0} I_{m} \\ I_{m} & 0_{m} & \dots & 0_{m} & - a_{1} I_{m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0_{m} & 0_{m} & \dots & I_{m} & - a_{n - 1} I_{m} \end{array}) \\ B_{o} & = (\begin{array}{c} β_{0} \\ β_{1} \\ ⋮ \\ β_{n - 1} \end{array}) C_{o} = (\begin{array}{c} 0_{m}, 0_{m}, \dots, I_{m} \end{array}) \end{aligned}

传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观的子系统的动力学行为，对于一个可实现的传递函数阵而言，有无穷多个状态空间表达式与之对应。

最小实现实际上是对状态空间表达式进行线性系统的结构分解，寻找到能控且能观的子系统表达。

首先将传递函数阵化为可实现的形式 $(A, B, C)$ ，有理真分式，降幂排列
将系统实现 $(A, B, C)$ 化为能控标准型/能观标准型
再进行能观/能控性的判断（对能控标准型进行能观性判断，对能观标准型进行能控性判断）
如果系统能观/能控，则就为最小实现
如果系统不能观/不能控，就进行能观/能控的分解

传递函数分子分母无零极点对消：