状态观测器

Observer

对线性定常系统 $Σ_{0} = (A, B, C)$ ，状态观测器存在的充要条件是 $Σ_{0}$ 的不能观子系统为渐近稳定或完全能观。
如果线性定常系统 $Σ_{0} = (A, B, C)$ 完全能观，则其状态矢量 $x$ 可以由输出 $y$ 和输入 $u$ 进行重构。

状态观测器方程为:

\begin{array}{r} \dot{\hat{x}} = (A - G C) \hat{x} + G y + B u \end{array}

重点设计误差反馈矩阵 $G$ （实际上和从输出到状态变量导数的反馈类似）

首先要进行能观性判别
原系统：

\begin{array}{r} det [λ I - A] = f (λ) = \prod_{i = 1}^{n} (λ - λ_{i}) = λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} \end{array}

期望极点系统：

\begin{array}{r} det [λ I - (A - G C)] = f^{*} (λ) = \prod_{i = 1}^{n} (λ - λ_{i}^{*}) = λ^{n} + a_{n - 1}^{*} λ^{n - 1} + \dots + a_{1}^{*} λ + a_{0}^{*} \end{array}

试采用状态观测器实现状态反馈控制，使闭环系统的极点配置在 $- 50, - 50$

\begin{array}{r} \dot{x} = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - 5 \end{array}) x + (\begin{array}{c} 0 \\ 100 \end{array}) u y = (\begin{array}{c} 1 & 0 \end{array}) x \end{array}

\begin{array}{r} N = (\begin{array}{c} C \\ C A \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{array}

\begin{array}{r} f^{*} (λ) = (λ + 50)^{2} = λ^{2} + 100 λ + 2500 \end{array}

设反馈增益矩阵 $G = (\begin{matrix} g_{1} \\ g_{2} \end{matrix})$

\begin{array}{r} f (λ) = | λ I - (A - G C) | = λ^{2} + (g_{1} + 5) λ + 5 g_{1} + g_{2} \end{array}

对比系数得到： $g_{1} = 95 g_{2} = 2025$ ，所以 $G = (\begin{matrix} 95 \\ 2025 \end{matrix})$
状态观测器方程为： $\dot{\hat{x}} = (A - G C) \hat{x} + G y + B u$

注意

如果系统能观，输出矩阵的秩为 $m$ ，则 $m$ 个状态分量可以直接由 $y$ 直接获得，则剩余 $n - m$ 个状态变量使用 $n - m$ 维的降维观测器进行重构。