线性定常系统的能控性

Controllability

基本定义

状态变量可以由输入来影响和控制，而由任意的初态达到原点。
系统的可控性是从状态方程的角度看的，系统的可控建立在状态的可控。

graph LR 
输入 --> 状态可控 --> 系统可控 & 系统不完全可控

状态可控：对于一个初始条件下的非零初始状态 $x (t_{0}) = x_{0}$ ，存在一个无约束的容许控制，在有限时间内，使得状态由 $x (t_{0}) = x_{0}$ 转移到 $x (t_{1}) = 0$

系统可控：状态空间中的所有非零状态都是可控的
系统不完全可控：存在一个或一些非零状态在时刻 $t_{0}$ 是不可控的

一、线性定常系统的可控性判据

考虑线性定常系统的状态方程

\begin{array}{r} \dot{x} (t) = A x (t) + B u (t) \end{array}

系统的能控性取决于系统矩阵 $A$ 和控制矩阵 $B$ 。

1. 对角线规范型判据

利用状态空间表达式Jordan标准化将系统矩阵进行线性变换

\dot{z} = T^{- 1} A T z + T^{- 1} B u = {\begin{cases} \dot{z} = Λ z + T^{- 1} B u 特征值无重根，化为对角阵 \\ \dot{z} = J z + T^{- 1} B u 特征值有重根，化为约旦标准型 \end{cases}

如果化为对角阵，只要控制矩阵元素全不为零，则系统能控。
如果化为 Jordan 标准型
不同特征值对应的不同约旦块的最后一行元素不为零向量
相同特征值产生的约旦块的最后一行元素不仅不为零向量，且要满足线性独立的条件

\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} λ_{1} & 1 & 0 \\ 0 & λ_{1} & 1 \\ 0 & 0 & λ_{1} \\ λ_{2} & 1 \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{array}) B = (\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \\ b_{5} & b_{6} \end{array}) \end{array}

如果 $λ_{1} \neq λ_{2} \neq λ_{3}$ ，只要 $(b_{1}, b_{2}), (b_{3}, b_{4}), (b_{5}, b_{6})$ 不为零向量即可
如果 $λ_{1} = λ_{2} \neq λ_{3}$ ，不仅要 $(b_{1}, b_{2}), (b_{3}, b_{4})$ 不为零向量，且要线性独立

2. 构造能控性矩阵判断（秩判据）（主要使用）

由凯莱-哈密顿定理得到能控的充分必要条件：

\begin{array}{r} r a n k M = r a n k (\begin{array}{c} B & A B & \dots & A^{n - 1} B \end{array}) = n \end{array}

3. 传递函数判断能控性

\begin{array}{r} W_{u x} (s) = (s I - A)^{- 1} B \end{array}

计算传递函数矩阵，如果不存在零极点对消，则系统能控
传递函数分子和分母约掉一个相同的公因子后，就相当于状态变量减少了一维，系统出现低维能控子空间和不能控子空间，则系统不能控。