线性系统稳定性分析

系统分析的前提是稳定
稳定性：系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能

李雅普诺夫稳定性理论：线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐近稳定

属于李雅普诺夫稳定性理论中的渐进稳定

线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部，或闭环传递函数的极点均位于 s 左半平面

实部决定收敛和发散
虚部决定振荡

线性系统稳定判据

闭环特征方程： $D (s) = a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0} = 0$

1. 赫尔维茨判据

必要条件：特征方程的各项系数为正数
充分必要条件：由特征方程各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式全部为正

$n = 1 :$ 特征方程的各项系数为正
$n = 2 :$ 特征方程的各项系数为正
$n = 3 :$ 特征方程的各项系数为正，且 $a_{1} a_{2} - a_{0} a_{3} > 0$
$n = 4 :$ 特征方程的各项系数为正，且 $Δ_{2} = a_{1} a_{2} - a_{0} a_{3} > 0$ , 以及 $Δ_{2} > \frac{a_{3} a_{0}}{a_{1}^{2}}$

2. 劳斯判据

$D (s) = a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0} = 0$

劳斯表：

$s^{n}$	$a_{n}$	$a_{n - 2}$	$a_{n - 4}$	$\dots$
$s^{n - 1}$	$a_{n - 1}$	$a_{n - 3}$	$a_{n - 5}$	$\dots$
$s^{n - 2}$	$L_{31}$	$L_{32}$	$L_{33}$	$\dots$
$s^{n - 3}$	$L_{41}$	$L_{42}$	$L_{43}$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$s^{0}$	$\dots$

\begin{array}{r} L_{31} = - \frac{1}{a_{n - 1}} | \begin{array}{c} a_{n} & a_{n - 2} \\ a_{n - 1} & a_{n - 3} \end{array} | \\ L_{32} = - \frac{1}{a_{n - 1}} | \begin{array}{c} a_{n} & a_{n - 4} \\ a_{n - 1} & a_{n - 5} \end{array} | \\ L_{33} = - \frac{1}{a_{n - 1}} | \begin{array}{c} a_{n} & a_{n - 6} \\ a_{n - 1} & a_{n - 7} \end{array} | \\ L_{41} = - \frac{1}{L_{31}} | \begin{array}{c} a_{n - 1} & a_{n - 3} \\ L_{31} & L_{32} \end{array} | \\ L_{42} = - \frac{1}{L_{31}} | \begin{array}{c} a_{n - 1} & a_{n - 5} \\ L_{31} & L_{33} \end{array} | \end{array}

系统稳定的充分必要条件：第一列各值为正值

第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目
如果第一列中出现负值，系统不稳定

注意

计算劳斯表时，不要漏掉负号

特殊情况

某一行第一项为 0，而其余项不全为 0
用一个很小的正数 $ε$ 替代 0
只是判断极限是大于零还是小于零即可, 所以从正半轴趋于零
出现全零行
说明有大小相等、方向相反的根
零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以该多项式导数的系数代替全零行

例如:
$s^{4} 2 3 4$
$s^{3} 0 0 0$
$F (s) = 2 s^{4} + 3 s^{2} + 4$
以该多项式求导的系数代替全零行
$F^{'} (s) = 8 s^{3} + 6 s$
$s^{3} 8 6 0$

变例

如果问在 $s = x_{0}$ 的右侧
直接 变量代换 $s = x_{0} + z z = s - x_{0}$
将 $f (s) \to g (z)$ 然后再沿用之前的计算方法

线性系统稳定判据

1. 赫尔维茨判据

2. 劳斯判据

特殊情况

变例

3. 李纳德 -戚帕特判据