频域稳定判据

利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性

幅角原理

在复平面 $[s]$ 任取一条闭合曲线 $\mathrm{\Gamma }$，包围 $F(s)$ 的 $Z$ 个零点和 $P$ 个极点，且不通过 $F(s)$ 的任何零点和极点
当复变量 s 沿曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 顺时针绕一周时，
在平面 $[F]$ 上，${\mathrm{\Gamma }}_F$ 包围原点的圈数 $R=P-Z$

开环传递函数 ： $G(s)H(s)$
1+开环传递函数： $F(s)=1+G(s)H(s)$

也即：闭环传递函数的分母
$F(s)$ 的根，即 $F(s)$ 的零点，为闭环传递函数的极点

$Z=P-R$

• $Z$ 为 $F(s)$ 的零点个数
  也即闭环传递函数的极点个数

• $P$ 为 $F(s)$ 的极点个数
  也即开环传递函数 $G(s)H(s)$ 的极点个数

• $R$ 为 $F$ 对应的曲线 ${\mathrm{\Gamma }}_F$ 包围原点的圈数
  也即开环传递函数包围 $(-1,j0)$ 的圈数

系统稳定的充分必要条件为：

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部

所以重点讨论右半平面

选择闭合曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 包围复平面的右半平面和虚轴，
若被包围的 $F(s)$ 零点数 $Z=0$，则闭环系统稳定
$Z=P-R$
由于开环传递函数在右半平面的极点个数为 $P$

所以：
判断系统的稳定转化为判断 $F(s)$ 右半平面包围的零点个数
转化为求 $F(s)$ 包围零点的圈数 $R$

最终转化为求开环传递函数包围 $(-1,j0)$ 点的圈数 $R$

Nyquist 判据

对于增补后的 Nyquist图

闭环系统稳定的充要条件：
曲线 ${\mathrm{\Gamma }}_{GH}$ 不穿过 $(-1,j0)$, 且逆时针包围 $(-1,j0)$ 的圈数 $R$ 等于开环传递函数正实部极点的个数 $P$

正负穿越法：
$\omega :0\to +\mathrm{\infty }$ ，${\mathrm{\Gamma }}_{GH}$ 穿越 $(-1,j0)$ 左侧负实轴的次数

逆时针为正方向

• 正穿越 $N^{+}$
  从上到下，辐角逐渐增大，穿越左侧负实轴

• 负穿越 $N^{-}$
  从下到上，辐角逐渐减小，穿越左侧负实轴
  (增补的穿越都为负穿越)

• 半次正穿越 ${\displaystyle \frac{1}{2}}{N}^{+}$
  起于负实轴

• 半次负穿越 ${\displaystyle \frac{1}{2}}{N}^{-}$
  终于负实轴

逆时针包围 $(-1,j0)$ 的圈数 $R$ ：

Bode 判据

对于增补后的 Bode图

Nyquist 图中：

${\mathrm{\Gamma }}_{GH}$ 穿越 $(-1,j0)$ 左侧负实轴的次数

即对应 Bode 图中：
幅频特性大于 $0dB$ 的所有频率内
相频特性穿越 $(2k+1)\pi$ 的次数

补作的虚直线都为负穿越