复合闭路定理

Complex Integral

$C$ 为平面上的有向曲线

${\int }_{C}f(z)dz=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\mathrm{\Delta }{z}_k$

$\mathrm{\Delta }{z}_k=z_k-z_{k-1}=\mathrm{\Delta }{x}_k+i\mathrm{\Delta }{y}_k$
$\lambda =max|\mathrm{\Delta }{z}_k|1\le k\le n$
$\begin{array}{rl}\mathrm{沿}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{向}& {\int }_{C}f(z)dz\\ \mathrm{沿}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{负}\mathrm{方}\mathrm{向}& {\int }_{C^{-}}f(z)dz\\ \mathrm{闭}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{向}(\mathrm{逆}\mathrm{时}\mathrm{针})& {\oint }_{C}f(z)dz\end{array}$

定理：
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在光滑曲线 $C$ 上连续，则复积分存在
${\int }_{C}f(z)dz={\int }_{C}u(x,y)dx-v(x,y)dy+i{\int }_{C}v(x,y)dx+u(x,y)dy$

$\begin{array}{r}{\int }_{C}f(z)dz={\int }_{C}udx-vdy+i{\int }_{C}vdx+udy\end{array}$
形式上：
${\int }_C^{}f(z)dz={\int }_C^{}(u+iv)(dx+idy)$

复积分可以通过两个二元实变函数的对弧长的曲线积分来计算，
曲线 $C$ 的参数方程为:$z(t)=x(t)+iy(t)$
则积分可以表示为：
$\begin{array}{r}{\int }_{C}f(z)dz={\int }_a^{b}f(z(t))z^{\prime }(t)dt\end{array}$

例子

1.计算 ${\int }_{C}zdz$
C: 从原点到点 $3+4i$ 的直线段
曲线的参数方程：
$\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=4t\end{array}0\le t\le 1$
$z=(3+4i)t$ $dz=(3+4i)dt$

$\begin{array}{r}{\int }_{C}zdz={\int }_0^1(3+4i{)}^{2}tdt={\displaystyle \frac{(3+4i{)}^2}{2}}\end{array}$

2. 计算

$\begin{array}{r}{\oint }_{\left|z\right|=3}{\displaystyle \frac{\bar{z}}{\left|z\right|}}dz\end{array}$

$z=r{e}^{i\theta }$

$\begin{array}{rl}{\oint }_C{\displaystyle \frac{\bar{z}}{\left|z\right|}}dz& ={\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{r{e}^{-i\theta }}{r}}r{e}^{i\theta }id\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }rid\theta \\ & =2\pi ri\end{array}$

所以题目积分值为 $6\pi i$

重要结论

$C$ 为以 $z_0$ 为中心， $r$ 为半径的正向圆周
积分路径的参数方程为：
$\begin{array}{r}z=z_0+r{e}^{i\theta }(0\le \theta \le 2\pi )\end{array}$
$\begin{array}{rl}{\oint }_C{\displaystyle \frac{1}{(z-z_0{)}^{n+1}}}dz& ={\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{ir{e}^{i\theta }}{r^{n+1}{e}^{i(n+1)\theta }}}d\theta \\ & ={\displaystyle \frac{i}{r^n}}{\int }_0^{2\pi }{e}^{-in\theta }d\theta \end{array}$
$\begin{array}{rl}& n=0:\\ & {\oint }_C{\displaystyle \frac{1}{(z-z_0{)}^{n+1}}}dz=i{\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi i\\ & n\ne 0:\\ & {\oint }_C{\displaystyle \frac{1}{(z-z_0{)}^{n+1}}}dz={\displaystyle \frac{i}{r^n}}{\int }_0^{2\pi }(\cos n\theta -i\sin n\theta )d\theta =0\end{array}$

即可得到：
${\oint }_C{\displaystyle \frac{1}{(z-z_0{)}^{n+1}}}dz=\{\begin{array}{l}2\pi in=0\\ \\ 0n\ne 0\end{array}$

表明：积分与积分路径圆周的中心和半径无关
实际上，此结论也是之后章节的解：柯西积分公式、解析函数的高阶导数、留数都可推出此结论

复积分的证明

${\int }_{C}f(z)dz=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\mathrm{\Delta }{z}_k$
$\begin{array}{rl}& \sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\mathrm{\Delta }{z}_k\\ & =\sum _{k=1}^n[u({\xi }_k,{\eta }_k)+iv({\xi }_k,{\eta }_k)](\mathrm{\Delta }{x}_k+i\mathrm{\Delta }{y}_k)\\ & =\sum _{k=1}^n[u({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{x}_k-v({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{y}_k]+i\sum _{k=1}^n[v({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{x}_k+u({\xi }_k,{\eta }_k)\mathrm{\Delta }{y}_k]\\ & {\int }_{C}f(z)dz\\ & ={\int }_{C}u(x,y)dx-v(x,y)dy+i{\int }_{C}v(x,y)dx+u(x,y)dy\end{array}$

复积分的性质

叠加原理：

$\begin{array}{rl}& {\int }_{C}f(z)dz=-{\int }_{C^{-}}f(z)dz\\ & {\int }_{C}kf(z)dz=k{\int }_{C}f(z)dz\\ & {\int }_C[f(z)\pm g(z)]dz={\int }_{C}f(z)dz\pm {\int }_{C}g(z)dz\end{array}$

估值不等式：
$\begin{array}{r}|{\int }_{C}f(z)dz|\le {\int }_C|f(z)|ds\le ML\end{array}$

$M$ 为 $|f(z)|$ 的最大值
$L$ 为曲线 $C$ 的长度